A Lógica Matemática vem
sendo aplicada em praticamente todos os campos do conhecimento humano e, devido
a esta intensidade, tem exigido que seu correspondente estudo e necessária
difusão sejam considerados nos diversos campos científicos ou tecnológicos onde
o raciocínio lógico (bivalente e dicotômico) se faça presente. Apresentar o
Cálculo Proposicional em Lógica Matemática para a avaliação e correção de
raciocínios lógicos dedutivos é um dos principais objetivos da terceira edição
da obra intitulada Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional, de
minha autoria, editada e publicada em 2011, em Curitiba-PR.
O livro constitui uma
introdução (compendiada) à Lógica Matemática especificamente relacionada com as
Operações e Relações da Álgebra Proposicional e é dirigida (em particular) para
os leitores de cursos universitários das Ciências Exatas e de Tecnologia.
Contudo, pode servir de texto de iniciação à Lógica Matemática em quaisquer
outros cursos na Universidade (em especial no curso de Filosofia). A leitura
seria, também, indicada para todo aquele, universitário ou não, que esteja
interessado em ter uma introdução neste campo do conhecimento. Com a devida
adequação e correspondente cuidado poderia, ainda, ser utilizada, com proveito,
nos anos finais dos cursos de Ensino Médio (conforme bem a experiência já demonstrou).
Apresentar os conteúdos
necessários da forma o mais simples possível constituiu propósito fundamental
da obra, uma vez que este livro é produto, também, de uma vivência de ensino a
partir da qual se detectou algumas dificuldades basilares com as quais se
defrontam muitos dos educandos que se relacionam pela primeira vez com a Lógica
Matemática.
Foi procurado facilitar toda
classe de considerações no desenvolvimento dos temas atinentes e na escolha dos
exemplos apresentados. Com a intenção de auxiliar o leitor que não tenha uma
sólida base matemática nem tão pouco disponha de um professor que o oriente, o
estilo do discurso adotado foi, intencionalmente, o informal. Contudo,
ressalte-se, que o assunto foi conduzido com suficiente grau de precisão com
vistas a atender aqueles que pretendam seguir estudos mais aprofundados em
Lógica Matemática. Acrescente-se, todavia, que em determinadas partes da obra alguns
problemas foram tratados com grau de dificuldade um pouco maior que na maioria
dos livros similares existentes.
O conteúdo selecionado
julga-se adequado para um primeiro contato com os elementos da Lógica
Matemática quanto referenciados ao Cálculo Proposicional. A linguagem
empregada, tanto quanto o tratamento dispensado a determinados assuntos e
problemas, bem como, a maneira pela qual procurou-se articular cada um dos correspondentes
capítulos evidenciam o caráter de iniciação que orienta o desenvolvimento do
assunto tratado.
Desta forma, o livro
procurou introduzir, com desejável rigor e grau de aprofundamento, algumas das
técnicas dedutivas do Cálculo Sentencial, partindo-se do estudo das proposições
e dos elementos que sistematizam o raciocínio dedutivo comum em Matemática. São
introduzidas, informalmente, por um lado, considerações sobre formalização,
validade, interpretação, conseqüência, e, por outro, são precisadas e desenvolvidas
considerações sobre notações, simbolismo lógico e não lógico, semântica e
sintaxe da linguagem lógica.
Ao que concerne, entretanto
à ordenação das matérias, cabe observar, em específico, que o livro foi
estruturado em nove capítulos, sendo que no Capítulo
I (Escorço Histórico da Lógica
Matemática) faz-se um breve relato da história da Lógica Matemática,
partindo-se de Aristóteles até os dias atuais. São mencionados, resumidamente,
autores e principais descobertas que, ao passar dos tempos, conduziram a reconhecer
a Lógica Matemática como uma Ciência própria e com notável independência.
Do Capítulo II ao VI encontram-se
apresentados os elementos indispensáveis para que se possa obter uma idéia
preliminar do que venha ser tratado em Lógica Matemática Proposicional,
constituindo, portanto, o núcleo desta obra.
Assim, no Capítulo II (Estruturação do Cálculo Proposicional) são levadas em consideração
os conceitos fundamentais sobre a linguagem artificial da Lógica Sentencial,
sobre Proposições, Conectivos Lógicos, Verdade e Validade, Fórmulas Proposicionais,
Valores Lógicos, Operações Lógicas Fundamentais, Escopo e Pareação de Fórmulas
Proposicionais; enfim, sobre os elementos necessários para se trabalhar a
correspondente teoria.
No Capítulo III (Método das
Tabelas-Verdade) efetua-se um estudo das Tabelas-Verdade, levando-se em
conta os correspondentes métodos de implementação. São, também, consideradas as
definições de Tautologias, Contradições e Contingências, as quais serão
aplicadas ao exame das Relações Lógicas e dos Argumentos Dedutivos e
Inferências.
No Capítulo IV (Relações Lógicas
no Cálculo Proposicional) estão reunidos as definições de Relações de
Equivalência e de Implicação Lógica, principais propriedades das Relações
Lógicas e Teoremas Fundamentais (da Equivalência, da Implicação, da
Substituição), bem como, considerações sobre as Operações Derivadas de Negação
Conjunta e Negação Disjunta e suas relações com as Operações Lógicas Fundamentais.
No Capítulo V (Álgebra
Proposicional) é dado um “tratamento algébrico” às Operações Lógicas onde
são evidenciadas várias das propriedades das mesmas, são apresentados critérios
de Simplificação de Fórmulas Proposicionais, sendo levado em conta critérios
para a Redução do Número de Operadores. Também são analisadas as Formas Normais
de uma Fórmula Proposicional e são discutidos o Princípio da Dualidade e o
Problema de Post.
No Capítulo VI (Dedução no Cálculo
Proposicional) são amplamente discutidas as técnicas dedutivas e se
apresenta, de modo o mais rigoroso para o principiante, a noção de “dedução”.
São estudados os Argumentos Válidos Fundamentais, as Regras de Inferência, os
Critérios de Verificação da Validade de Argumentos Dedutivos, bem como alguns
aspectos importantes das correspondentes demonstrações e suas implicações.
Já os Capítulos VII, VIII e IX constituem capítulos complementares
no sentido de motivar o leitor a prosseguir em estudos ulteriores. Em
particular, no Capítulo VII (Sistemas Axiomáticos em Lógica Sentencial)
são apresentadas considerações introdutórias sobre a concepção de Teoria Formal,
Linguagem Formal e Teoria Axiomática em Lógica Sentencial. Apresentam-se,
também, alguns Sistemas Axiomáticos desenvolvidos para o Cálculo Sentencial.
No Capítulo VIII (Paradoxos e
Antinomias) são levadas em consideração observações sobre a importância do
estudo dos Paradoxos e Antinomias no desenvolvimento tanto da Lógica quanto da
Matemática; sendo examinados, particularmente, alguns dos Paradoxos e
Antinomias, tanto lógicos quanto matemáticos, que mais influências exerceram.
Como última parte do livro
tem-se o Capítulo VIII (Álgebra Booleana). Neste capítulo
abordam-se tópicos sobre Álgebra de Boole, Matemática de Comutação, Redes Elétricas
e Portas Lógicas. Tais conteúdos são abordados levando-se em conta a Lógica
Proposicional como teoria subjacente, podendo ser tomados como exemplos aplicativos
daquela teoria.
Na
presente edição, os exercícios relacionados aos temas tratados são apresentados
logo ao término de cada capítulo; excetuando-se, entretanto, o primeiro capítulo,
pois no mesmo não é considerada uma lista de exercícios. Quanto aos exercícios
cabe salientar, ainda, que ou são apresentadas as respectivas respostas ou são
consideradas as correspondentes soluções acrescidas de considerações
pertinentes.
Ressalte-se, por fim, que,
embora a obra trate dos principais elementos no domínio das técnicas dedutivas,
é necessário ponderar que o livro não constitui uma obra “definitiva” no
sentido estrito da palavra. Trata-se, em essência, de um ensaio compendiado
centrado na premissa maior de apresentar a amálgama dos principais elementos
que constituem a denominada Lógica Matemática no campo do Cálculo Proposicional.
Espera-se, entretanto, que o presente livro seja de serventia para todo aquele
que se inicia no mundo das ciências dedutivas servindo-se do estudo da Lógica Matemática
Sentencial.
Carlos
Magno Corrêa Dias